Das Hochpassfilter filtert die tieferen Frequenzen als die Grenzfrequenz $f_0$ heraus und lässt die Höheren durch.

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Die Übertragungsfunktion eines digitalen Hochpassfilters 2. Ordnung kann als

(1) $\begin{equation*} H(s)=\frac{s^2}{s^2+\frac{s}{Q}+1} \end{equation*}$

beschrieben werden.

Ermittlung der Koeffizienten für das Biquad-filter

Nach der bilinearen Transformation erhält man

(2) $\begin{equation*} \begin{align} a_0&=1+\alpha \\ b_{n,0}&=\frac{1}{1+\alpha} \frac{1+\cos(w_0)}{2} \\ b_{n,1}&=\frac{1}{1+\alpha} (-1-\cos(w_0))\\ b_{n,2}&=\frac{1}{1+\alpha} \frac{1+\cos(w_0)}{2} \\ a_{n,1}&=\frac{1}{1+\alpha} (-2 \cos(w_0))\\ a_{n,2}&=\frac{1}{1+\alpha} (1-\alpha)\\ \end{align} \end{equation*}$

wobei

(3) $\begin{equation*} \begin{align} f_0 &: Grenzfrequenz\\ F_s&: Abtastrate\\ \omega_0&=2 \pi \frac{f_0}{F_s}\\ \alpha&=\frac{sin(\omega_0)}{2 Q} \end{align} \end{equation*}$

Implementierung

Somit erhält man alle Koeffizienten, die man für die Implementierung braucht. Die Implementierung der Koeffizientenberechnung würde folgendermaßen aussehen.

//Deklaration
double A,w0,cosw0,sinw0,alpha,a0;

//Hilfsvariablen
A=pow(10,gain/40);
w0=2*PI*(f0/FS);
cosw0=cos(w0);
sinw0=sin(w0);
alpha=sinw0/(2*Q);

//Normalisierungsparameter
a0_inv=1/(1+alpha);

//Koeffizientenberechnung
bn0=(float)((1+cosw0)*0.5*a0_inv);
bn1=(float)((-1-cosw0)*a0_inv);
bn2=bn0;
an1=(float)((-2*cosw0)*a0_inv);
an2=(float)((1-alpha)*a0_inv);

//Deklaration

double A,w0,cosw0,sinw0,alpha,a0;

//Hilfsvariablen

A=pow(10,gain/40);

w0=2*PI*(f0/FS);

cosw0=cos(w0);

sinw0=sin(w0);

alpha=sinw0/(2*Q);

//Normalisierungsparameter

a0_inv=1/(1+alpha);

//Koeffizientenberechnung

bn0=(float)((1+cosw0)*0.5*a0_inv);

bn1=(float)((-1-cosw0)*a0_inv);

bn2=bn0;

an1=(float)((-2*cosw0)*a0_inv);

an2=(float)((1-alpha)*a0_inv);

Am Code lassen sich manche Optimierungen erkennen.

Mehrmals vorkommende Variablen sind vorberechnet (z.B. trigonometrische Funktionen)
Anstatt jedes mal durch $a_0$ zu teilen, wird mit inversem (ein mal vorberechneten) Wert $a_0^{-1}$ multipliziert, da Multiplikation günstiger ist als Division für viele CPUs.
Die Berechnungen erfolgen mit Gleitkommezahlen doppelter Präzision (double) und wird am Ende auf Float gecastet. Der Grund: Trigonometrischen Funktionen mit Single-Präzision (float) kann zu erheblichen numerischen Fehlern und dadurch zu unerwünschten Ergebnissen bzw. Instabilität führen.
Der Code ist optimiert für die Hardware-FPU von Cortex-M7 Mikroprozessor.