Das Allpassfilter lässt alle Frequenzen durch, verursacht allerdings eine Phasenverschiebung, welches als Verzögerungselement verwendet werden kann.

Die Übertragungsfunktion eines digitalen Allpassfilters 2. Ordnung kann als

(1)   \begin{equation*} H(s)=\frac{s^2-\frac{1}{Q}s+1}{s^2+\frac{1}{Q}s+1} \end{equation*}

beschrieben werden.

Ermittlung der Koeffizienten für das Biquad-filter

Nach der bilinearen Transformation erhält man

(2)   \begin{equation*} \begin{align} a_0&=1+\alpha \\ b_{n,0}&=\frac{1}{a_0} (1-\alpha) \\ b_{n,1}&=\frac{1}{a_0} (-2 \cos(w_0))\\ b_{n,2}&=1\\ a_{n,1}&=\frac{1}{a_0} (-2 \cos(w_0))\\ a_{n,2}&=\frac{1}{a_0} (1-\alpha) \\ \end{align} \end{equation*}

wobei

(3)   \begin{equation*} \begin{align} f_0 &: Grenzfrequenz\\ F_s&: Abtastrate\\ \omega_0&=2 \pi \frac{f_0}{F_s}\\ \frac{1}{Q}&=2 \sinh(\frac{\ln(2) BW}{2})\\ \alpha&=\frac{sin(\omega_0)}{2 Q} \end{align} \end{equation*}

Implementierung

Somit erhält man alle Koeffizienten, die man für die Implementierung braucht. Die Implementierung der Koeffizientenberechnung würde folgendermaßen aussehen.

Am Code lassen sich manche Optimierungen erkennen.

  • Mehrmals vorkommende Variablen sind vorberechnet (z.B. trigonometrische Funktionen)
  • Anstatt jedes mal durch a_0 zu teilen, wird mit inversem (ein mal vorberechneten) Wert a_0^{-1} multipliziert, da Multiplikation günstiger ist als Division für viele CPUs.
  • Die Berechnungen erfolgen mit  Gleitkommezahlen doppelter Präzision (double) und wird am Ende auf Float gecastet. Der Grund: Trigonometrischen Funktionen mit Single-Präzision (float) kann zu erheblichen numerischen Fehlern und dadurch zu unerwünschten Ergebnissen bzw. Instabilität führen.
  • Der Code ist optimiert für die Hardware-FPU von Cortex-M7 Mikroprozessor.